卡爾曼濾波 傳感器融合：1.使用激光雷達(dá)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)卡爾曼濾波器：
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卡爾曼濾波器是傳感器融合工程師用于自動(dòng)駕駛汽車(chē)的工具。想象一下，你有一個(gè)雷達(dá)傳感器，告訴你另一輛車(chē)距離15米，一個(gè)激光傳感器說(shuō)車(chē)輛距離20米。你如何協(xié)調(diào)這些傳感器測(cè)量？這就是卡爾曼濾波器的功能?？柭鼮V波在自動(dòng)駕駛汽車(chē)上的應(yīng)用十分廣泛，本文講述卡爾曼濾波算法，希望對(duì)你有所幫助。
卡爾曼濾波算法在控制領(lǐng)域有極廣泛的應(yīng)用，在發(fā)動(dòng)機(jī)燃油噴射控制中，可以應(yīng)用擴(kuò)展的卡爾曼濾波理論研究瞬態(tài)工況下發(fā)動(dòng)機(jī)循環(huán)進(jìn)氣量的最優(yōu)估計(jì)算法，在雷達(dá)中，人們感興趣的是跟蹤目標(biāo)，但目標(biāo)的位置、速度、加速度的測(cè)量值往往在任何時(shí)候都有噪聲?？柭鼮V波利用目標(biāo)的動(dòng)態(tài)信息,設(shè)法去掉噪聲的影響，得到一個(gè)關(guān)于目標(biāo)位置的好的估計(jì)。
為了以后更好的工程實(shí)踐應(yīng)用卡爾曼濾波算法，今天小編帶領(lǐng)著大家了解卡爾曼濾波算法的理論，及其在自動(dòng)駕駛多傳感器融合算法中的應(yīng)用。ー 1 ー什么是卡爾曼濾波？
你可以在任何含有不確定信息的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)中使用卡爾曼濾波，對(duì)系統(tǒng)下一步的走向做出有根據(jù)的預(yù)測(cè)，即使伴隨著各種干擾，卡爾曼濾波總是能指出真實(shí)發(fā)生的情況。
在連續(xù)變化的系統(tǒng)中使用卡爾曼濾波是非常理想的，它具有占用內(nèi)存小的優(yōu)點(diǎn)（除了前一個(gè)狀態(tài)量外，不需要保留其它歷史數(shù)據(jù)），并且速度很快，很適合應(yīng)用于實(shí)時(shí)問(wèn)題和嵌入式系統(tǒng)。
在Google上找到的大多數(shù)關(guān)于實(shí)現(xiàn)卡爾曼濾波的數(shù)學(xué)公式看起來(lái)有點(diǎn)晦澀難懂，這個(gè)狀況有點(diǎn)糟糕。實(shí)際上，如果以正確的方式看待它，卡爾曼濾波是非常簡(jiǎn)單和容易理解的，下面我將用漂亮的圖片和色彩清晰的闡述它，你只需要懂一些基本的概率和矩陣的知識(shí)就可以了。
ー 2 ー我們能用卡爾曼濾波做什么？
用玩具舉例：你開(kāi)發(fā)了一個(gè)可以在樹(shù)林里到處跑的小機(jī)器人，這個(gè)機(jī)器人需要知道它所在的確切位置才能導(dǎo)航。我們可以說(shuō)機(jī)器人有一個(gè)狀態(tài)： ，表示位置和速度：
注意這個(gè)狀態(tài)只是關(guān)于這個(gè)系統(tǒng)基本屬性的一堆數(shù)字，它可以是任何其它的東西。在這個(gè)例子中是位置和速度，它也可以是一個(gè)容器中液體的總量，汽車(chē)發(fā)動(dòng)機(jī)的溫度，用戶(hù)手指在觸摸板上的位置坐標(biāo)，或者任何你需要跟蹤的信號(hào)。這個(gè)機(jī)器人帶有GPS，精度大約為10米，還算不錯(cuò)，但是，它需要將自己的位置精確到10米以?xún)?nèi)。樹(shù)林里有很多溝壑和懸崖，如果機(jī)器人走錯(cuò)了一步，就有可能掉下懸崖，所以只有GPS是不夠的。或許我們知道一些機(jī)器人如何運(yùn)動(dòng)的信息：例如，機(jī)器人知道發(fā)送給電機(jī)的指令，知道自己是否在朝一個(gè)方向移動(dòng)并且沒(méi)有人干預(yù)，在下一個(gè)狀態(tài)，機(jī)器人很可能朝著相同的方向移動(dòng)。當(dāng)然，機(jī)器人對(duì)自己的運(yùn)動(dòng)是一無(wú)所知的：它可能受到風(fēng)吹的影響，輪子方向偏了一點(diǎn)，或者遇到不平的地面而翻倒。所以，輪子轉(zhuǎn)過(guò)的長(zhǎng)度并不能精確表示機(jī)器人實(shí)際行走的距離，預(yù)測(cè)也不是很完美。GPS 傳感器告訴了我們一些狀態(tài)信息，我們的預(yù)測(cè)告訴了我們機(jī)器人會(huì)怎樣運(yùn)動(dòng)，但都只是間接的，并且伴隨著一些不確定和不準(zhǔn)確性。但是，如果使用所有對(duì)我們可用的信息，我們能得到一個(gè)比任何依據(jù)自身估計(jì)更好的結(jié)果嗎？回答當(dāng)然是YES，這就是卡爾曼濾波的用處。ー 3 ー卡爾曼濾波是如何看到你的問(wèn)題的？
下面我們繼續(xù)以只有位置和速度這兩個(gè)狀態(tài)的簡(jiǎn)單例子做解釋。我們并不知道實(shí)際的位置和速度，它們之間有很多種可能正確的組合，但其中一些的可能性要大于其它部分： 卡爾曼濾波假設(shè)兩個(gè)變量（位置和速度，在這個(gè)例子中）都是隨機(jī)的，并且服從高斯分布。每個(gè)變量都有一個(gè)均值μ，表示隨機(jī)分布的中心（最可能的狀態(tài)），以及方差，表示不確定性。在上圖中，位置和速度是不相關(guān)的，這意味著由其中一個(gè)變量的狀態(tài)無(wú)法推測(cè)出另一個(gè)變量可能的值。下面的例子更有趣：位置和速度是相關(guān)的，觀測(cè)特定位置的可能性取決于當(dāng)前的速度： 這種情況是有可能發(fā)生的，例如，我們基于舊的位置來(lái)估計(jì)新位置。如果速度過(guò)高，我們可能已經(jīng)移動(dòng)很遠(yuǎn)了。如果緩慢移動(dòng)，則距離不會(huì)很遠(yuǎn)。跟蹤這種關(guān)系是非常重要的，因?yàn)樗鼛Ыo我們更多的信息：其中一個(gè)測(cè)量值告訴了我們其它變量可能的值，這就是卡爾曼濾波的目的，盡可能地在包含不確定性的測(cè)量數(shù)據(jù)中提取更多信息！ ：這種相關(guān)性用協(xié)方差矩陣來(lái)表示，簡(jiǎn)而言之，矩陣中的每個(gè)元素， 表示第 i 個(gè)和第 j 個(gè)狀態(tài)變量之間的相關(guān)度。（你可能已經(jīng)猜到協(xié)方差矩陣是一個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣，這意味著可以任意交換 i 和 j）。協(xié)方差矩陣通常用來(lái)表示，其中的元素則表示為ー 4 ー使用矩陣來(lái)描述問(wèn)題
我們基于高斯分布來(lái)建立狀態(tài)變量，所以在時(shí)刻 k 需要兩個(gè)信息：最佳估計(jì)
（即均值，其它地方常用 μ 表示），以及協(xié)方差矩陣。
（當(dāng)然，在這里我們只用到了位置和速度，實(shí)際上這個(gè)狀態(tài)可以包含多個(gè)變量，代表任何你想表示的信息）。接下來(lái)，我們需要根據(jù)當(dāng)前狀態(tài)（k-1 時(shí)刻）來(lái)預(yù)測(cè)下一狀態(tài)（k 時(shí)刻）。記住，我們并不知道對(duì)下一狀態(tài)的所有預(yù)測(cè)中哪個(gè)是“真實(shí)”的，但我們的預(yù)測(cè)函數(shù)并不在乎。它對(duì)所有的可能性進(jìn)行預(yù)測(cè)，并給出新的高斯分布。我們可以用矩陣來(lái)表示這個(gè)預(yù)測(cè)過(guò)程：
它將我們?cè)脊烙?jì)中的每個(gè)點(diǎn)都移動(dòng)到了一個(gè)新的預(yù)測(cè)位置，如果原始估計(jì)是正確的話，這個(gè)新的預(yù)測(cè)位置就是系統(tǒng)下一步會(huì)移動(dòng)到的位置。那我們又如何用矩陣來(lái)預(yù)測(cè)下一個(gè)時(shí)刻的位置和速度呢？下面用一個(gè)基本的運(yùn)動(dòng)學(xué)公式來(lái)表示：現(xiàn)在，我們有了一個(gè)預(yù)測(cè)矩陣來(lái)表示下一時(shí)刻的狀態(tài)，但是，我們?nèi)匀徊恢涝趺锤聟f(xié)方差矩陣。此時(shí)，我們需要引入另一個(gè)公式，如果我們將分布中的每個(gè)點(diǎn)都乘以矩陣 A，它的協(xié)方差矩陣系會(huì)怎樣變化呢？很簡(jiǎn)單，下面給出公式：結(jié)合方程（4）和（3）得到： ー 5 ー外部控制量我們并沒(méi)有捕捉到一切信息，可能存在外部因素會(huì)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制，帶來(lái)一些與系統(tǒng)自身狀態(tài)沒(méi)有相關(guān)性的改變。 以火車(chē)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)模型為例，火車(chē)司機(jī)可能會(huì)操縱油門(mén)，讓火車(chē)加速。相同地，在我們機(jī)器人這個(gè)例子中，導(dǎo)航軟件可能會(huì)發(fā)出一個(gè)指令讓輪子轉(zhuǎn)向或者停止。如果知這些額外的信息，我們可以用一個(gè)向量來(lái)表示，將它加到我們的預(yù)測(cè)方程中做修正。假設(shè)由于油門(mén)的設(shè)置或控制命令，我們知道了期望的加速度，根據(jù)基本的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可以得到：
以矩陣的形式表示就是： 稱(chēng)為控制矩陣，稱(chēng)為控制向量（對(duì)于沒(méi)有外部控制的簡(jiǎn)單系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，這部分可以忽略）。讓我們?cè)偎伎家幌?，如果我們的預(yù)測(cè)并不是100%準(zhǔn)確的，該怎么辦呢？ー 6 ー外部干擾如果這些狀態(tài)量是基于系統(tǒng)自身的屬性或者已知的外部控制作用來(lái)變化的，則不會(huì)出現(xiàn)什么問(wèn)題。但是，如果存在未知的干擾呢？例如，假設(shè)我們跟蹤一個(gè)四旋翼飛行器，它可能會(huì)受到風(fēng)的干擾，如果我們跟蹤一個(gè)輪式機(jī)器人，輪子可能會(huì)打滑，或者路面上的小坡會(huì)讓它減速。這樣的話我們就不能繼續(xù)對(duì)這些狀態(tài)進(jìn)行跟蹤，如果沒(méi)有把這些外部干擾考慮在內(nèi)，我們的預(yù)測(cè)就會(huì)出現(xiàn)偏差。 在每次預(yù)測(cè)之后，我們可以添加一些新的不確定性來(lái)建立這種與“外界”（即我們沒(méi)有跟蹤的干擾）之間的不確定性模型： 原始估計(jì)中的每個(gè)狀態(tài)變量更新到新的狀態(tài)后，仍然服從高斯分布。我們可以說(shuō)的每個(gè)狀態(tài)變量移動(dòng)到了一個(gè)新的服從高斯分布的區(qū)域，協(xié)方差為
。換句話說(shuō)就是，我們將這些沒(méi)有被跟蹤的干擾當(dāng)作是協(xié)方差的的噪聲來(lái)處理。這產(chǎn)生了具有不同協(xié)方差（但是具有相同的均值）的新的高斯分布。我們通過(guò)簡(jiǎn)單地添加得到的擴(kuò)展的協(xié)方差，下面給出預(yù)測(cè)步驟的完整表達(dá)式：由上式可知，新的最優(yōu)估計(jì)是根據(jù)上一個(gè)最優(yōu)估計(jì)預(yù)測(cè)的道德，并加上已知外部控制量的修正。而新的不確定性由上一不確定性預(yù)測(cè)得到，并加上外部環(huán)境的干擾。好了，我們對(duì)系統(tǒng)可能的動(dòng)向有了一個(gè)模糊的估計(jì)，用和來(lái)表示。如果結(jié)合傳感器的數(shù)據(jù)會(huì)怎樣呢？
ー 7 ー用測(cè)量值來(lái)修正估計(jì)值我們可能會(huì)有多個(gè)傳感器來(lái)測(cè)量系統(tǒng)當(dāng)前的狀態(tài)，哪個(gè)傳感器具體測(cè)量的是哪個(gè)狀態(tài)變量并不重要，也許一個(gè)是測(cè)量位置，一個(gè)是測(cè)量速度，每個(gè)傳感器間接地告訴了我們一些狀態(tài)信息。注意，傳感器讀取的數(shù)據(jù)的單位和尺度有可能與我們要跟蹤的狀態(tài)額單位和尺度不一樣，我們用矩陣來(lái)表示傳感器的數(shù)據(jù)。我們可以計(jì)算出傳感器讀數(shù)的分布，用之前的表示方法如下式所示： 卡爾曼濾波的一大優(yōu)點(diǎn)就是能處理傳感器噪聲，換句話說(shuō)，我們的傳感器或多或少都有點(diǎn)不可靠，并且原始估計(jì)中的每個(gè)狀態(tài)可以和一定范圍內(nèi)的傳感器讀數(shù)對(duì)應(yīng)起來(lái)。
從測(cè)量到的傳感器數(shù)據(jù)中，我們大致能猜到系統(tǒng)當(dāng)前處于什么狀態(tài)。但是由于存在不確定性，某些狀態(tài)可能比我們得到的讀數(shù)更接近真實(shí)狀態(tài)。
我們將這種不確定性（例如：傳感器噪聲）用協(xié)方差表示，該分布的均值就是我們讀取到的傳感器數(shù)據(jù)，稱(chēng)之為：傳感器噪 現(xiàn)在我們有了兩個(gè)高斯分布，一個(gè)是在預(yù)測(cè)值附近，一個(gè)是在傳感器讀數(shù)附近。我們必須在預(yù)測(cè)值（粉紅色）和傳感器測(cè)量值（綠色）之間找到最優(yōu)解。 那么，我們最有可能的狀態(tài)是什么呢？對(duì)于任何可能的度數(shù)有兩種情況：（1）傳感器的測(cè)量值；（2）由前一狀態(tài)得到的預(yù)測(cè)值。如果我們想知道這兩種情況都可能發(fā)生的概率，將這兩個(gè)高斯分布相乘就可以了。剩下的就是重疊部分了，這個(gè)重疊部分的均值就是兩個(gè)估計(jì)最可能的值，也就是給定的所有信息中的最優(yōu)估計(jì)。瞧！這個(gè)重疊的區(qū)域看起來(lái)像另一個(gè)高斯分布。如你所見(jiàn)，把兩個(gè)具有不同均值和方差的高斯分布相乘，你會(huì)得到一個(gè)新的具有獨(dú)立均值和方差的高斯分布！下面用公式講解。ー 8 ー融合高斯分布先以一維高斯分布來(lái)分析比較簡(jiǎn)單點(diǎn)，具有方差 和 μ 的高斯曲線可以用下式表示：
如果把兩個(gè)服從高斯分布的函數(shù)相乘會(huì)得到什么呢？
將式（9）代入到式（10）中（注意重新歸一化，使總概率為1）可以得到： 將式（11）中的兩個(gè)式子相同的部分用 k 表示：
下面進(jìn)一步將式（12）和（13）寫(xiě)成矩陣的形式，如果 Σ 表示高斯分布的協(xié)方差， 表示每個(gè)維度的均值，則：
矩陣稱(chēng)為卡爾曼增益，下面將會(huì)用到。放松！我們快要完成了！
將所有公式結(jié)合起來(lái)我們有兩個(gè)高斯分布，預(yù)測(cè)部分，和測(cè)量部分，將它們放到式（15）中算出它們之間的重疊部分：
由式（14）可得卡爾曼增益為： 將式（16）和式（17）的兩邊同時(shí)左乘矩陣的逆（注意里面包含了 ）將其約掉，再將式（16）的第二個(gè)等式兩邊同時(shí)右乘矩陣 的逆得到以下等式： 上式給出了完整的更新步驟方程。就是新的最優(yōu)估計(jì)，我們可以將它和放到下一個(gè)預(yù)測(cè)和更新方程中不斷迭代。 以上所有公式中，你只需要用到式（7）、（18）、（19）。（如果忘了的話，你可以根據(jù)式（4）和（15）重新推導(dǎo)一下）
我們可以用這些公式對(duì)任何線性系統(tǒng)建立精確的模型，對(duì)于非線性系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，我們使用擴(kuò)展卡爾曼濾波，區(qū)別在于EKF多了一個(gè)把預(yù)測(cè)和測(cè)量部分進(jìn)行線性化的過(guò)程。ー 9 ー自動(dòng)駕駛中的傳感器融合算法
追蹤靜止和移動(dòng)的目標(biāo)是自動(dòng)駕駛技術(shù)領(lǐng)域最為需要的核心技術(shù)之一。來(lái)源于多種傳感器的信號(hào)，包括攝像頭，雷達(dá)，以及激光雷達(dá)（基于脈沖激光的測(cè)距設(shè)備）等傳感器組合的組合體來(lái)估計(jì)位置，速度，軌跡以及目標(biāo)的種類(lèi)，例如其他車(chē)輛和行人。
你可能會(huì)問(wèn)——為什么我們需要這么多的傳感器？
這是因?yàn)槊糠N傳感器提供了追蹤物體所需要的不同精度和類(lèi)型的信息，尤其是在不同天氣條件下。比如，以激光雷達(dá)為基礎(chǔ)的傳感器能很好地解決位置的問(wèn)題，但是在糟糕的天氣條件下其精度和性能都會(huì)有很大程度的下降。另一方面，雷達(dá)的空間解決方案也相對(duì)便宜很多，與此同時(shí)，在惡劣的天氣條件下也能提供更準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)。
同樣的，不像激光雷達(dá)傳感器，雷達(dá)可以提供目標(biāo)的速度和方位。雷達(dá)數(shù)據(jù)也是計(jì)算密集型的，因?yàn)橐皇す獍l(fā)射非常多包含每個(gè)獨(dú)立的激光點(diǎn)的范圍的數(shù)據(jù)，它使得你必須理解你的算法。
組合來(lái)自不同傳感器信息的技術(shù)稱(chēng)之為傳感器融合技術(shù)。之所以較早的討論這個(gè)，是因?yàn)閼?yīng)用在傳感器融合之上的算法必須處理短暫的，充滿(mǎn)雜訊的輸入，生成可靠的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)估計(jì)的概率。
下面我們將展示在位置的追蹤和估計(jì)中最通用的算法，卡爾曼濾波器的變種——‘?dāng)U展卡爾曼濾波器’。
1.使用激光雷達(dá)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)卡爾曼濾波器：
卡爾曼濾波器的歷史已經(jīng)超過(guò)半個(gè)世紀(jì)，但是對(duì)于輸入數(shù)據(jù)的噪聲信息和狀態(tài)估計(jì)的平滑來(lái)說(shuō)仍然是最有效的傳感器融合算法之一。它假定位置參數(shù)是符合高斯分布的，即完全可以被均值和協(xié)方差參數(shù)化:X～N(μ, σ2)
當(dāng)傳感器的信息流開(kāi)始的時(shí)候,卡爾曼濾波器使用一系列的狀態(tài)信息來(lái)預(yù)測(cè)和衡量更新步驟去更新被追蹤目標(biāo)的信心值(概率)。預(yù)測(cè)和更細(xì)心的步驟如下圖所示：
狀態(tài)預(yù)測(cè)：
我們會(huì)使用一個(gè)簡(jiǎn)化的線性狀態(tài)空間模型(鏈接：去闡述濾波器的工作方式. 一個(gè)系統(tǒng)在t時(shí)刻的線性狀態(tài)可以從t-1時(shí)刻根據(jù)以下等式被估計(jì)：
衡量更新：
卡爾曼濾波器的下一部分則是去使用實(shí)測(cè)參數(shù)z去更新預(yù)測(cè)狀態(tài)'x',通過(guò)縮放因子(通常稱(chēng)之為卡爾曼增益)成比例的計(jì)算估計(jì)值和測(cè)量值之間的誤差。
你可以在以下鏈接中找到衡量更新等式的求導(dǎo)：
舉個(gè)例子
理論部分結(jié)束！讓我們嘗試用一些代碼去表示一些卡爾曼濾波器的基礎(chǔ)過(guò)程。
對(duì)此，我們模擬一個(gè)目標(biāo)，它的狀態(tài)被四維向量x=[px py vx vy]所描述。
在這個(gè)例子中測(cè)量傳感器是返回位置數(shù)據(jù)但是沒(méi)有速度信息的激光傳感器。為了觀測(cè)到速度信息我們需要使用雷達(dá)傳感器數(shù)據(jù)。在接下來(lái)的章節(jié)中，當(dāng)我們討論擴(kuò)展卡爾曼濾波的時(shí)候我們將會(huì)涉及到這些。
讓我們以一些假設(shè)開(kāi)始：
偽代碼：
基礎(chǔ)版本的卡爾曼濾波器代碼步驟列在了下面。你可以找到一個(gè)基礎(chǔ)的例子：
最后的迭代步驟通過(guò)測(cè)量和應(yīng)用預(yù)測(cè)以及濾波器的更新步驟如下所示：
plot_position_variance(x,P,edgecolor='r') #plot initial position and covariance in red
for z in measurements:
x,P =predict(x, P)
x,P = update(x, P,z)
plot_position_variance(x,P,edgecolor='b') #plot updates in blue
print(x)
print(P)
卡爾曼濾波器迭代：濾波器在迭代之后向真實(shí)值收斂
上方的圖闡述了濾波器在每次迭代中狀態(tài)向量的px,py維度和位置的協(xié)方差發(fā)生了哪些變化。紅圈表示初始過(guò)程不確定性。隨著預(yù)測(cè)和測(cè)量更新，我們開(kāi)始有了較小的誤差（半徑），狀態(tài)估計(jì)開(kāi)始越來(lái)越精確。
如同你看到的，最終估計(jì)的狀態(tài)向量x[11.99,2.05]非常接近最終的觀測(cè)值，誤差最小值也縮小到了0.05。
2.擴(kuò)展卡爾曼濾波器——使用雷達(dá)數(shù)據(jù)
雷達(dá)數(shù)據(jù)帶來(lái)了一些更困難的挑戰(zhàn)。雷達(dá)返回?cái)?shù)據(jù)值的是基于極坐標(biāo)系，其由三個(gè)部分構(gòu)成：
- ρ /Range(從原點(diǎn)到此的距離)
- ? / bearing ( ρ 和 x的夾角),
- ρ˙：接近率/距離變化率
由于沒(méi)有H矩陣將狀態(tài)向量映射到雷達(dá)的測(cè)量空間，我們需要一個(gè)函數(shù)h（x）來(lái)將狀態(tài)空間銀蛇到測(cè)量空間以測(cè)量更新步驟。這個(gè)方法是映射極坐標(biāo)到笛卡爾坐標(biāo)的方法的衍生方法，定義如下：
這個(gè)映射闡述了一個(gè)非線性函數(shù)，它將使得卡爾曼濾波器的過(guò)程和測(cè)量符合高斯分布的假設(shè)無(wú)效。擴(kuò)展卡爾曼濾波器使用局部線性模型來(lái)逼近非線性模型，然后使用卡爾曼濾波應(yīng)用到逼近值上。局部線性逼近是通過(guò)計(jì)算當(dāng)前狀態(tài)估計(jì)的一階泰勒展開(kāi)得出的。一階的逼近也叫雅克比矩陣。我們不會(huì)在這里過(guò)多介紹雅克比矩陣的推到過(guò)程。相關(guān)內(nèi)容在網(wǎng)絡(luò)中可以找到優(yōu)秀的介紹，但是如果你想要直接使用這些東西，你可以在以下的github引用中找到代碼實(shí)例：Github link
現(xiàn)實(shí)參考
你可以在github存儲(chǔ)庫(kù)中找到關(guān)于Kalman過(guò)濾器的c++編寫(xiě)代碼:
代碼示例：
來(lái)源：?？W(wǎng)
卡爾曼濾波 傳感器融合：一文理清卡爾曼濾波，從傳感器數(shù)據(jù)融合開(kāi)始談起
一文理清卡爾曼濾波，從傳感器數(shù)據(jù)融合開(kāi)始談起
5/19,'19 FesianXu
前言
最近在一個(gè)項(xiàng)目中接觸到了卡爾曼濾波，并且對(duì)此進(jìn)行了學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)其是一個(gè)很有意思的信息融合的算法，可以結(jié)合多種傳感器的信息（存在噪聲），得到更為理想的估計(jì)，因此在此進(jìn)行筆記和心得紀(jì)錄。本人不是從事控制相關(guān)專(zhuān)業(yè)工作，可能在短暫的自學(xué)過(guò)程中對(duì)此存在誤解，若有謬誤，望聯(lián)系指出，謝謝。（文章主要參考了[1]）
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@@[toc]定位問(wèn)題[1]狀態(tài)預(yù)測(cè)方程考慮施加外力的情況，添加控制項(xiàng)導(dǎo)致預(yù)測(cè)或者觀察不確定性的因素描述不確定性預(yù)測(cè)和觀測(cè)~同父異母的兄弟結(jié)合起來(lái)吧~狀態(tài)更新
從傳感器的測(cè)量談起
在正式討論卡爾曼濾波前，我們先討論對(duì)物理量的測(cè)量。我們會(huì)發(fā)現(xiàn)是和卡爾曼濾波緊密相關(guān)的。 我們知道，如果需要對(duì)自然界的某個(gè)物理量，比如溫度，氣壓，速度等進(jìn)行測(cè)量，我們需要用各種傳感器進(jìn)行測(cè)量。但是，因?yàn)槠骷墓に嚥豢赡苓_(dá)到完美，或者其他不能被人為預(yù)測(cè)到或者控制到的因素和噪聲等存在，傳感器對(duì)物理量的預(yù)測(cè)不可能是完全準(zhǔn)確的。因此，我們與其把傳感器的測(cè)量結(jié)果當(dāng)成是一個(gè)確定值，不如把它看成是一個(gè)隨機(jī)變量，其均值和方差分別為，既是，這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)參數(shù)描述了測(cè)量的輸出值（也就是我們直接觀察到的值）和對(duì)這個(gè)測(cè)量的可信程度。同時(shí)，我們要注意到，這里的不一定是時(shí)間平穩(wěn)的，也就是說(shuō)可能隨著時(shí)間的變化而變化。 （暫且假設(shè)傳感器的測(cè)量均值是和真實(shí)值無(wú)偏的。）
如下圖所示，如果直接觀察傳感器數(shù)據(jù)，那么其可能是會(huì)存在很大的抖動(dòng)，而不是平滑的，原因可能是觀察噪聲的影響。
Fig 1. 傳感器的數(shù)據(jù)直接觀測(cè)結(jié)果。
我們這個(gè)時(shí)候就想到，如果一次觀察是抖動(dòng)的，有著的不確定的，那么如果用同一個(gè)傳感器對(duì)這個(gè)物理量觀察次，然后對(duì)次數(shù)據(jù)進(jìn)行求和，以減少不確定性的影響，豈不妙哉？ 這樣的確是可以的，這個(gè)就是信號(hào)處理當(dāng)中的滑動(dòng)窗口均值濾波(mean filter)。但這個(gè)簡(jiǎn)單操作有幾個(gè)缺點(diǎn)：
我們前面談到了不確定度是可能時(shí)變的，簡(jiǎn)單相加不能最好地消除不確定性。時(shí)間上滑動(dòng)窗口進(jìn)行多次測(cè)量的求和，會(huì)導(dǎo)致延遲。
對(duì)此，我們進(jìn)行一個(gè)小改進(jìn)，就是用多個(gè)相同的傳感器去同時(shí)測(cè)量一個(gè)物理量，然后求和或者根據(jù)可靠程度去求加權(quán)平均和，我們假設(shè)多個(gè)傳感器的采樣值滿(mǎn)足分布，其中表示傳感器序號(hào):
我們發(fā)現(xiàn)，其因?yàn)榧僭O(shè)是無(wú)偏測(cè)量傳感器因此均值相同，但是每個(gè)傳感器的不確定性不一定相同。
這個(gè)時(shí)候簡(jiǎn)單的求和就容易造成結(jié)果的偏移，我們不妨根據(jù)方差的大小，進(jìn)行加權(quán)平均求和，在此之前，我們需要幾個(gè)假設(shè)：
不同傳感器的測(cè)量都是一個(gè)隨機(jī)變量，其均值相同。不同傳感器的測(cè)量之間是無(wú)關(guān)的，也就是說(shuō)知道了不能對(duì)知道其他策略提供任何信息，但是也不會(huì)影響到觀測(cè)的均值，即是。
接下來(lái)，我們用這兩個(gè)假設(shè)，進(jìn)行簡(jiǎn)單的傳感器間的數(shù)據(jù)融合以提高測(cè)量效果。Let's move on！
簡(jiǎn)單版本，多傳感器數(shù)據(jù)融合
為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，假設(shè)我們用兩個(gè)相同的傳感器進(jìn)行測(cè)量，那么最后數(shù)據(jù)融合結(jié)果應(yīng)該是:
那么，融合后的估計(jì)的不確定度可以通過(guò)的方差進(jìn)行衡量，公式如:
為了最小化 ，我們用求導(dǎo)并且置為0的方法[3]，不難推導(dǎo)出當(dāng)時(shí)，式子(2.2)有最小值，此時(shí)，式子(2.1)可化為:
這里討論的只是兩個(gè)傳感器的情況，可以簡(jiǎn)單地推導(dǎo)到多個(gè)傳感器的情況和當(dāng)觀測(cè)值是一個(gè)向量時(shí)候的情況，以及為了計(jì)算有效性，采用迭代計(jì)算的方法，具體可以參考文獻(xiàn)[3]。其中，為了以后討論的方便，這里給出當(dāng)觀測(cè)值是一個(gè)向量，并且只有兩個(gè)傳感器時(shí)的公式(2.4)：
可以發(fā)現(xiàn)，此時(shí)不再假設(shè)每個(gè)傳感器的測(cè)量均值都是一樣的了，其中的稱(chēng)之為卡爾曼增益(Kalman Gain)，嘛，這里不過(guò)只是個(gè)名字，暫且不管。
卡爾曼濾波，開(kāi)始征程
接下來(lái)我們開(kāi)始正式討論卡爾曼濾波(Kalman Filter)。我們之前討論的傳感器之間其實(shí)都是**無(wú)關(guān)(uncorrelated)**的，但是，其實(shí)經(jīng)常我們知道了某個(gè)測(cè)量量，是可以確定或者為確定另一個(gè)測(cè)量量提供信息量的，比如我們現(xiàn)在需要測(cè)量車(chē)輛的位置和速度，那么知道了速度，通?？梢詾橄乱徊街牢恢锰峁┮欢ǖ男畔?。在這種前提下，我們便能夠通過(guò)更為合理的數(shù)據(jù)融合手段，得到更為精確的估計(jì)結(jié)果。
定位問(wèn)題[1]
考慮一個(gè)例子，我們的機(jī)器人需要定位，通常使用的是GPS進(jìn)行定位，得到車(chē)輛的狀態(tài)量之一的位置： 。其次，我們可以通過(guò)測(cè)量輪子的轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)，對(duì)機(jī)器人的運(yùn)行速度進(jìn)行測(cè)量，得到狀態(tài)量另一個(gè)，速度：。但是，我們要牢記，我們的觀測(cè)不是完全準(zhǔn)確的，比如GPS存在誤差，而測(cè)量輪子轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)也不能完美的描述速度，因?yàn)榭赡芤驗(yàn)榈孛娌黄?，輪胎打滑等原因?qū)е抡`差。不過(guò)我們記住我們這個(gè)例子中的兩個(gè)狀態(tài)量：
在這個(gè)情況下，我們對(duì)兩個(gè)狀態(tài)量的觀測(cè)其實(shí)是一個(gè)兩元的概率變量，我們的每個(gè)觀測(cè)都落在分布之中，而我們的任務(wù)就是從這個(gè)不確定性高的分布中，得到個(gè)不確定性更小的分布，從而得到更為精確的估計(jì)。圖如：
Fig 2. 當(dāng)兩個(gè)狀態(tài)量的觀測(cè)存在相關(guān)性的時(shí)候，其觀測(cè)可能的落在的分布圖。
Fig 3. 當(dāng)兩個(gè)狀態(tài)量的觀測(cè)不存在相關(guān)性的時(shí)候，其觀測(cè)可能的落在的分布圖，其為一個(gè)水平于橫軸的類(lèi)似矩陣的區(qū)域。
這個(gè)時(shí)候，觀測(cè)的不確定性體現(xiàn)在方差上，而觀測(cè)值可以用均值向量描述，如Fig 4所示：
Fig 4. 觀測(cè)中的 值和不確定性的表述。
狀態(tài)預(yù)測(cè)方程
這個(gè)時(shí)候，如果我們的觀測(cè)是準(zhǔn)確的，那么會(huì)出現(xiàn)什么情況呢？我們根據(jù)牛頓力學(xué)，可以對(duì)位置-速度的過(guò)程進(jìn)行建模，我們會(huì)有：
用矩陣形式表達(dá)就是：
其中，表示的是狀態(tài)向量，為。
我們稱(chēng)為預(yù)測(cè)矩陣(Predict Matrix)，通過(guò)此，我們可以用當(dāng)前時(shí)刻的狀態(tài)量去預(yù)測(cè)下一個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)量，即使我們并不知道真實(shí)的值應(yīng)該是多少，但是這并不影響我們對(duì)狀態(tài)的預(yù)測(cè)。
Fig 5. 通過(guò)建模，對(duì)下個(gè)時(shí)刻狀態(tài)的預(yù)測(cè)。
當(dāng)在用進(jìn)行描述這個(gè)預(yù)測(cè)時(shí)，其實(shí)可以看成是點(diǎn)對(duì)之間的線性變換，那么如Fig 6所示：
Fig 6. 在線性變換下，點(diǎn)對(duì)的坐標(biāo)變化情況。
那么此時(shí)，預(yù)測(cè)的狀態(tài)量有了，還需要預(yù)測(cè)時(shí)刻的不確定性，也就是方差，在多變量情況下是協(xié)方差矩陣，用表示:
于是我們有，狀態(tài)量預(yù)測(cè)和協(xié)方差預(yù)測(cè)：
考慮施加外力的情況，添加控制項(xiàng)
在控制理論問(wèn)題中，我們?cè)趺茨芡浱砑涌刂祈?xiàng)呢？畢竟我們都希望整個(gè)系統(tǒng)是可控制的，而不是任其隨意發(fā)展的。
讓我們繼續(xù)擴(kuò)展我們上面的那個(gè)例子?？紤]到機(jī)器人本身有油門(mén)，可以進(jìn)行一定的加速行駛，也可以按照一定的加速度制動(dòng)，讓我們假設(shè)這個(gè)加速度為，那么根據(jù)牛頓力學(xué)，我們的狀態(tài)預(yù)測(cè)方程(3.1)就更新為:
同樣還是用矩陣形式表達(dá)，有:
其中，被稱(chēng)之為控制矩陣(Control Matrix)， 被稱(chēng)之為控制向量(Control Vector) 。如果一個(gè)系統(tǒng)實(shí)在是沒(méi)有控制項(xiàng)，那么可以忽視這個(gè)控制項(xiàng)。
然而，因?yàn)橐幌盗械恼`差存在，我們的預(yù)測(cè)不可能是完全準(zhǔn)確的。那么我們的誤差或者是不確定性主要在哪里存在呢?
導(dǎo)致預(yù)測(cè)或者觀察不確定性的因素
有以下四種因素可能導(dǎo)致我們的狀態(tài)預(yù)測(cè)或者觀察存在不確定性[2]，我們對(duì)此進(jìn)行簡(jiǎn)單描述：
參數(shù)的不確定性：參數(shù)不確定性指的是在對(duì)預(yù)測(cè)進(jìn)行建模時(shí)，比如，這個(gè)模型通過(guò)參數(shù)進(jìn)行建模，然而對(duì)這個(gè)參數(shù)的觀察不可能是百分百精確的，這個(gè)參數(shù)的誤差就會(huì)導(dǎo)致整個(gè)模型的誤差，因此狀態(tài)預(yù)測(cè)這個(gè)時(shí)候更新為:
控制器的不確定性：實(shí)際生活中，我們的控制器同樣不可能完美，這個(gè)誤差可以建模為:
模型的不確定性：實(shí)際中，我們通過(guò)簡(jiǎn)單的線性建模不一定能很好地表達(dá)模型預(yù)測(cè)，因此要引入一個(gè)殘差項(xiàng)，表示模型的不完美，建模為：
觀測(cè)不確定性：就像我們之前談到的，我們的觀測(cè)也是不完美的。描述不確定性
正如上一節(jié)我們談到的，有一些影響狀態(tài)的因素，比如風(fēng)，地面情況，輪胎打滑或者其他各種小情況我們是沒(méi)法完全考慮到的，也就沒(méi)法建模出來(lái)，這個(gè)時(shí)候，狀態(tài)預(yù)測(cè)結(jié)果就存在不確定性，如Fig 7所示：
Fig 7. 預(yù)測(cè)的不確定性。
我們?yōu)榱藢?duì)未能跟蹤到的變量進(jìn)行統(tǒng)一建模，我們假設(shè)狀態(tài)從到下一個(gè)時(shí)刻狀態(tài)，其下一個(gè)狀態(tài)落在一個(gè)協(xié)方差為的高斯分布中，也就是說(shuō)，我們把所有未能跟蹤到的影響因素都用這個(gè)高斯分布描述了。
這個(gè)影響導(dǎo)致了我們式子(3.4)中的協(xié)方差發(fā)生了變化，但是其均值不變，公式如:
以上的內(nèi)容只是對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行了討論，但是實(shí)際上我們除了預(yù)測(cè)，還會(huì)存在傳感器的測(cè)量，雖然這個(gè)測(cè)量是不準(zhǔn)確的，但是也能提供一定的信息量。
根據(jù)觀測(cè)結(jié)果對(duì)估計(jì)進(jìn)行調(diào)整預(yù)測(cè)和觀測(cè)~同父異母的兄弟
實(shí)際系統(tǒng)中，我們可能有多個(gè)傳感器給予我們關(guān)于系統(tǒng)狀態(tài)的信息，我們這里不在乎其測(cè)量的量到底是什么，我們只要知道，每個(gè)傳感器都間接地告訴了我們狀態(tài)量。注意到我們預(yù)測(cè)狀態(tài)量的尺度和單位和觀測(cè)結(jié)果的尺度和單位可能是不一樣的，這個(gè)時(shí)候就需要用線性變換把他們變成一樣尺度和單位的。你可能猜到了，我們還是引入一個(gè)矩陣描述這個(gè)線性變換。
Fig 8. 預(yù)測(cè)和觀察的尺度和單位不一致性。
Fig 9. 通過(guò)線性變換將預(yù)測(cè)的尺度和單位轉(zhuǎn)換到和觀測(cè)一致。
那么，公式有:
老問(wèn)題，因?yàn)閭鞲衅鞔嬖谠肼暎覀兊挠^測(cè)結(jié)果至少在某種程度上是不可靠的，在原來(lái)估計(jì)的情況下的結(jié)果可能對(duì)應(yīng)了一個(gè)范圍的傳感器觀測(cè)值。
Fig 10. 同一個(gè)預(yù)測(cè)可能對(duì)應(yīng)多個(gè)觀測(cè)。
為了描述這個(gè)不確定性（也就是傳感器噪聲），我們引入了，這個(gè)分布的均值和我們的觀測(cè)值相同，但是存在有不確定性，用協(xié)方差進(jìn)行描述。
到現(xiàn)在為止，我們有了兩個(gè)高斯分布：
一個(gè)是通過(guò)線性變換 將預(yù)測(cè)結(jié)果轉(zhuǎn)化為理論觀察值的分布 。另一個(gè)是實(shí)際的觀察值的分布，其均值為 。
Fig 11. 兩個(gè)描述同一個(gè)量的不同分布的交集。
不難發(fā)現(xiàn)，因?yàn)檫@兩個(gè)分布都是描述同一個(gè)量，其交集處，如Fig 12所示，應(yīng)該是最好的估計(jì)結(jié)果，我們看到這個(gè)交集處，其協(xié)方差明顯比觀測(cè)和預(yù)測(cè)的都要小得多，結(jié)果也就更為精確。
為了得到這個(gè)交集分布的表達(dá)形式，我們需要將兩個(gè)高斯分布進(jìn)行相乘即可，我們知道高斯分布的乘積也是高斯分布[4]。
Fig 12. 最佳估計(jì)其實(shí)也是符合高斯分布。
因此問(wèn)題也就變成怎么求兩個(gè)高斯分布的乘積的高斯分布的參數(shù)，如Fig 13所示：
Fig 13. 求藍(lán)色分布的參數(shù)，高斯分布的乘積也是高斯分布。
根據(jù)[1,4]的推導(dǎo)，我們知道相乘后的結(jié)果為:
通過(guò)引入，可以進(jìn)行一些化簡(jiǎn)有：
如果用矩陣形式表達(dá)，則有：
其中分別是預(yù)測(cè)和觀測(cè)的協(xié)方差矩陣。其中如(2.4)，我們把稱(chēng)為卡爾曼增益，我們發(fā)現(xiàn)(3.11)和(2.4)形式上是一致的。
結(jié)合起來(lái)吧~狀態(tài)更新
我們現(xiàn)在有兩個(gè)分布了：
預(yù)測(cè)分布:
觀測(cè)分布:
將(3.12) (3.13)代入(3.11)，我們有:
注意到(3.14)的可以進(jìn)行約減，最后得到：
其中，卡爾曼增益變?yōu)?
這樣，我們就得到了最后的結(jié)合了觀測(cè)和模型預(yù)測(cè)的最佳估計(jì)了，并且知道了，可以為下一步的迭代更新提供先驗(yàn)了。我們發(fā)現(xiàn)，其實(shí)觀測(cè)為預(yù)測(cè)提供了先驗(yàn)知識(shí)。這個(gè)過(guò)程可以一直迭代更新。整個(gè)卡爾曼濾波的流程如Fig 14所示。
Fig 14. 卡爾曼濾波的整個(gè)流程。
Reference
[1].
[2].
[3]. Pei Y, Biswas S, Fussell D S, et al. An elementary introduction to kalman filtering[J]. arXiv preprint arXiv:1710., 2017.
[4].
卡爾曼濾波 傳感器融合：卡爾曼濾波器是如何運(yùn)用于多傳感器融合的？
我目前認(rèn)為的卡爾曼濾波器是這樣的：
1.設(shè)置狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣
2.[預(yù)測(cè)]通過(guò) t-1 時(shí)的狀態(tài)預(yù)測(cè) t 時(shí)的狀態(tài)
3.[更新]用傳感器的測(cè)量值與 2 中的預(yù)測(cè)值估計(jì)出最優(yōu)值，并更新卡爾曼增益等常數(shù)
4.重復(fù) 2～3 步驟
（如上正是opencv庫(kù)中自帶的卡爾曼濾波器例子的步驟，也是初學(xué)者能最直觀理解到的，它只涉及到一個(gè)測(cè)量值）
那么請(qǐng)問(wèn)，在某些涉及多傳感器融合的問(wèn)題中，例如 陀螺儀（累積誤差）和電子羅盤(pán)（干擾）的數(shù)據(jù)融合，此時(shí)有多個(gè)測(cè)量值存在，卡爾曼濾波器又是怎樣工作的呢？
貼一個(gè)數(shù)據(jù)融合的結(jié)果，用陀螺儀和GPS數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)融合，濾波估計(jì)車(chē)輛前輪轉(zhuǎn)角即行業(yè)內(nèi)所說(shuō)的慣導(dǎo)角位移。LZ精準(zhǔn)農(nóng)業(yè)領(lǐng)域，器件型號(hào)不表，用霍爾傳感器(精度0.1度)標(biāo)定，精度在0.17度，用于農(nóng)機(jī)自動(dòng)駕駛，真他娘的好用。。。。。。
補(bǔ)一個(gè)IMU姿態(tài)測(cè)量系統(tǒng)數(shù)據(jù)融合的結(jié)果。陀螺和加表數(shù)據(jù)融合，濾波估計(jì)系統(tǒng)俯仰角和橫滾角。器件型號(hào)不表。
這個(gè)是實(shí)驗(yàn)室桌面實(shí)驗(yàn)，手動(dòng)翻轉(zhuǎn)IMU
下面是室外實(shí)驗(yàn)，用GPS雙天線的俯仰角進(jìn)行精度標(biāo)定，GPS主副天線基線2米，俯仰角精度0.1度。IMU剛性鏈接在GPS工裝上，兩手托舉行走。
更一個(gè)濾波融合的例子。
霍爾傳感器安裝在車(chē)輛輪子處測(cè)量車(chē)輛前輪的角度，但是霍爾傳感器測(cè)量的是0到360度的絕對(duì)角度，安裝在車(chē)輪轉(zhuǎn)向節(jié)處時(shí)，在車(chē)輛前輪打正的情況下角度不是0而是一個(gè)隨機(jī)的固定的偏置，采用濾波估計(jì)的方法估計(jì)其安裝偏置，精度可以達(dá)到0.1度：
再更一個(gè)IMU或者GPS在載體上安裝角估計(jì)的應(yīng)用。IMU或者雙天線GPS安裝在載體上，由于安裝誤差，IMU的前向或GPS主副天線的航向與載體的前向有一個(gè)固定的安裝誤差角，采用濾波估計(jì)的方法進(jìn)行估計(jì)，精度可以達(dá)到0.2度：
在更一個(gè)組合導(dǎo)航的例子。
單天線GNSS+IMU做組合導(dǎo)航，提供位置速度姿態(tài)，IMU型號(hào)是ADI某較低成本器件，位置速度精度和RTK狀態(tài)下GNSS結(jié)果保持一致，航向精度0.12度(RMS)。
產(chǎn)品是農(nóng)機(jī)自動(dòng)駕駛儀，用來(lái)輔助農(nóng)機(jī)的自動(dòng)駕駛進(jìn)行作業(yè)，目前主要應(yīng)用在插秧機(jī)、拖拉機(jī)、割草機(jī)等四輪小車(chē)。
組合航向精度和雙天線GNSS航向精度基本一致，且靜止情況下航向不漂。
農(nóng)機(jī)橫向控制精度<2.5cm RMS。
卡爾曼濾波 傳感器融合：澶氫紶鎰熷櫒铻嶅悎涓殑鍗″皵鏇兼護(hù)娉㈡帰璁？
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