三電容電路是基本π網絡的一種，多角度理解三電容電路是模擬電路設計入門的關鍵，本文將詳細解說三電容電路圖和三電容電路時域分析。

三電容電路

作為基本π網絡的一種，三電容電路是理解模擬電路頻響、放大器穩定性、開關-電容放大器、開關-電容積分器、采樣保持放大器的基礎。從多種不同的角度深刻理解三電容電路是模擬電路設計入門的關鍵，同時三電容電路也是各大電路公司面試常用的題型。

首先，這個電路有三個電容，但是三個電容形成一個環，電路只有兩個獨立的狀態變量（state variable），所以這個電路的傳輸函數只有兩個極點。

基本π型函數列出傳輸函數V2/I1

零極點的位置如下圖，有一個極點在原點，注意有一個零點在右半平面。

假設拉普拉斯域I1（s） 為 1，或者時域i1（t）為1*δ（t），我們可以通過拉普拉斯反變換找出v2（t）：

我們發現，v2（t） 由一個階躍項和一個指數項組成，指數項會衰減到0，但是階躍項會一直保持。合在一起的總響應就是一開始有一個反向的過沖（overshoot），然后會以指數衰減的方式穩定到一個固定的終值。5

現在我們換一種方式來分析零極點。之前我們講過，極點是由電路的純粹的拓撲結構所定的，每一個網絡函數都有一樣的極點。

三電容電路零極點分析

現在我們來看這個純粹的電路。假設這個電路是零狀態的（relaxed），那么這個電路是線性時不變的（LTI），所以C1 C2組成了一個分壓器，那么我們可以用V1來表示V2。

但是V2由是受控源兩端的電壓，而這個受控源也受到V1的控制，所以就變成了壓控電流源被自己兩端電壓所控制。一個被自己電壓控制的電流源就是一個電阻。所以我們可以算出該電阻：

于是，三電容電路變成了下圖。這個電路的時間常量很好算了，算出來果然跟我們之前算的一個極點吻合。

另一個極點呢？

我們現在假設C2 C3上的t=0- 時的初始狀態為這樣：

當t=0時，我們發現整個電路沒有電流，C2 C3上的電壓一直保持著，這種能夠保持初始狀態的網絡，一定有一個極點在原點。我們可以舉一個最簡單的例子，一個電容可以保持電壓，所以電容的阻抗這個網絡函數有一個極點在原點。

這也與我們之前的推導吻合。

現在找零點，我們之前學過，零點是很特別的，是由激勵和響應的相對位置決定的。找零點需要抵消響應。現在我們把響應V2 抵消掉，如圖：

那么C3沒有電流，受控源的電流等于C2的電流，但是C2的電流由可以被直接用V1表示出來，所以：

三電容電路時域分析

然后，我們從時域的角度把三電容電路的機理再過一次（非常重要！是深入理解三電容電路并幫你通過面試拿到offer的關鍵！）。

我們必須要先理解沖激電流的物理意義。單位沖激電流在拉普拉斯域的表示為1。注意這個1是有單位的，單位是庫倫，大家可以思考一下為什么電流的拉普拉斯轉換的單位是庫倫。在時域里，單位沖激函數前面的1的單位也是庫倫，因為單位沖激函數的積分為1，但是電流的積分必須是庫倫，所以這里的1代表了一個包裹的1庫倫電荷，這個1庫倫的電荷只需要0時間就可以被輸送，因為在t=0的時候，電流無窮大。

所以，單位沖激電流的物理意義就是用0時間通過無窮大的電流向一個高斯面里輸送了1庫倫電荷。

現在回到三電容電路，在t=0-時，三個電容都沒有初始電荷。在t=0時，1庫倫的電荷被注入到了紅色高斯面里。現在的問題是，會不會有有限量的電荷在t=0時流入綠色高斯面。我們來分析這個情況：

如果有有限量的電荷流入綠色高斯面，那說明受控源gmv1必須是無窮大，因為無窮大的電流才能在0時間內輸送有限的電荷，有限的電流在0時間內輸送0電荷。

這表示v1是無窮大，但是v1無窮大的話，紅色高斯面內必須有無窮大的電荷，這不可能，因為沖激電流所攜帶的電荷是有限的。所以受控源電流是有限的，受控源在0時間內不輸送任何電荷。所以在t=0+時，只有電荷會在C1 C2 C3 中重新分布，1庫倫的電荷會在C1+C2||C3這個總電容上建立一個電壓v1（0+）。C2 和C3必須形成一個分壓器，因為C2的右極板和C3的上極板的電荷總和為0。這樣我們可以推出v2（0+）：

化簡v2（o+），我們可以得到：

這跟我們之前用拉普拉斯轉換得到的結果一致！

下面看最終狀態，當電路達到最終狀態時，所有的狀態變量都不再改變了（除非我們有共振或者不穩定的特殊情況，然而這個電路顯然沒有），這說明受控源gmv1必須為0，v1必須為0。但是當t》0時，紅色高斯面內的電荷就不再會改變了，因為獨立電流源為0，所以所有1庫倫的電荷都必須被“擠壓”到C2上，產生電壓1/C2。因為v1（∞）為0，所以我們可以算出v2（∞）為-1/C2。

這又跟我們用拉普拉斯轉換得到的結果一致！

我們之已經分析過，這個電路只有一個非無窮大的時間常量，所以這是一個“準一階電路”。對于這種電路，只要我們知道在t=0+的初始值和t=∞的終值，中間的行為就是一個一階指數衰減。所以我們得到與之前一致的響應：

引入非理想效應

接著我們引入一個不理想效應，在受控源處并聯一個電導G3（有沒有覺得下面的電路圖很熟悉？對了，就是MOSFET小信號電路基本就長這樣）。

重新使用基本π型函數列出傳輸函數：

這里，D0成為了誤差項，如果要讓D0非常接近于1，gmR3要遠大于1+C1/C2。

我們來從時域角度看這個問題：

如果G3不為0，那么在終值狀態時，會有一個循環的電流流過G3。所以gmv1不為0，那么v1不為0。這樣，并非所有的1庫倫電荷都被“擠壓”到了C2上，這就是導致誤差項的原因。對于模擬電路而言，我們希望精確地放大信號，放大倍數最好是元件之間的比例。假如我們的沖激電流源變成了vsC1δ（t），或者說C1 采樣了一個電壓源vs，C1在t=0時被放置到三電容電路里，如果G3為0，那么響應v2終值將為準確的電容比例-C2/C1 vs。但如果G3不為0，這個比例就會有誤差。

三電容電路實際應用

看到這里，大家一定會認為我們會拿MOSFET小信號電路作為例子吧？非也，我們當然要找一個更有趣的例子。下面由焦魔為大家講一個三電容電路的實例：開關電容積分器（SCIntegrator）。

開關電容積分器是有源梯形濾波器（AcTIve Ladder Filter）的基本組成模塊。相比于使用電阻電容有源濾波器（OpAmp RC Filter），開關電容濾波器（SC Filter）具有精度高，噪聲小，受工藝、電壓、溫度影響小的優點（原因是我們不再需要電阻這個在芯片上很難做準的元件了）。下圖所示為一種基本的開關電容積分器（前向歐拉型，Forward Euler）的電路。

注：在該電路圖中，梯形符號代表跨導放大器（OperaTIonal Transconductance Amplifier， OTA）。跨導放大器和我們熟悉的運算放大器非常容易混淆，前者使用梯形符號，后者則是三角形符號。運算放大器的模型是一個壓控電壓源，跨導放大器的模型是一個壓控電流源。嚴格來講，我們通常所說的集成電路中的運算放大器實際上都是指跨導放大器；而我們做板級電路設計時使用的運放芯片才是真正的運算放大器。

該電路有兩個工作相位。在φ1相位，電容C1的電壓跟隨輸入電壓vi變化，φ1相位結束時電容C1的電壓即為φ2相位開始時的初始電壓。φ2相位時電路的小信號模型如下圖右側所示。其中沖激電流源等效代表了C1的初始電壓。電路的時序和波形圖如下：

電容C1在每個周期的采樣值在tk時刻確定，輸出電壓在每個周期φ2的開始時刻開始變化，先有一個瞬時的前向饋通，然后以指數衰減的形式穩定到最終的電壓值，理想情況下電壓的變化量由電容C1和C2的比值以及tk時刻采樣的輸入電壓值決定。同時，上一個周期存在C2上的電荷并沒有被釋放，所以這個電路就變成了一個積分器。如果考慮OTA有限的輸出電阻，這個電壓變化量會有一定的偏差。

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在核輻射測量儀器中，對測量精度與采樣速度都有一定的要求，一般的檢測電路會引起較大的誤差。本次電路的設計，可以較為精確的完成對峰值信號脈沖的檢測與保持，從而完成對脈沖幅度的測量，進而知道輻射的能量大小。研究峰值檢測電路對設計核輻射探測儀器具有重要的意義。

1、峰值檢測電路總體設計

峰值保持電路屬于核輻射測量儀器中信號數據采集部分的核心電路，要準確的完成峰值的甄別及保持，就需要對各部分電路的時序進行嚴格的控制，因此，必須各部分的器件及連接方案進行慎重的選擇。本系統采用主放大器，甄別電路，控制電路及峰值保持四部分組成峰值檢測電路，圖1為電路原理圖。

圖1  峰值檢測電路原理圖

主放大器是放在前置放大電路和甄別電路之間，需要增益調節來補償核輻射探測器輸出脈沖幅度的變化。由于探測器輸出的脈沖信號幅度比較小（為幾十毫伏至幾百毫伏），脈沖寬度比較窄，為了能進行信號幅度分析，實現能譜測量，需要脈沖線性放大器將脈沖信號進行幅度的線性放大與脈沖的成形。本系統選用運放CA3140，它具有輸入阻抗高、噪聲低、功耗小、溫漂小等特點。

甄別電路的主要功能是完成過峰檢測和去除信號噪聲的功能。通過設定閉值，將信號中能量小于閾值的噪聲去。這種電路只允許一定幅度的脈沖通過，供其后電路記錄。由于在核輻射脈沖測量中對采樣時間要求很快，因此我們選用高速比較器LM319。控制電路是整個電路的控制中心，它按照甄別電路的時序，自動地控制整個電路協調的完成測量工作，控制電路一般由一些門電路構成，有定時信號開啟或關閉這些門電路，給出相應的脈沖信號去控制電路工作。

在本設計中，控制電路主要功能是完成對A/D讀入/轉換狀態的控制。從而完成對輸出峰值的測量和顯示。控制電路主要由74LS74觸發器構成，74LS74觸發器為帶預置和清除端的兩組D型觸發器。

峰值保持電路的功能是跟蹤輸入信號（一般是脈沖），直到輸入信號達到峰值為止，進入保持狀態，保持輸入信號的峰值不變（當然實際上存在泄漏電流引起的跌落），直到被復位，回到跟蹤狀態。它主要由電壓保持電容以及電壓跟隨器組成。在選用電壓跟隨器時要注意選用阻抗較大的跟隨放大器才能更精確的完成峰值的保持和測量，因此本設計選用阻抗較大的運算放大器CA3140作為電壓跟隨器。

在本次設計中要使用+5V和-5V兩種電源，在實際應用中可選用一種電平轉換芯片完成兩種電壓之間的轉換。

2、結語

本文根據核輻射測量中所需要注意的問題設計了一種峰值檢測電路，主要解決了以下問題：

（1）由于此電路是用于核輻射測量中，所測量的脈沖寬度較窄，因此要進行進沖信號的放大整形。采用低功耗，高阻抗的放大器能夠減小運放輸入失調造成的誤差。

（2）通過甄別電路和控制電路的時序來控制模擬開關和ADC的轉換時間。

實踐表明，這種峰值檢測電路設計合理，可以在實際的核輻射測量儀器中使用，此電路可以完成對信號峰值的檢測與保持，完成核輻射脈沖幅度的測量，從而得到輻射的能量大小，對核輻射測量儀器的設計具有重要的意義。

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