1  引言
    配電網絡重構通過改變網絡拓撲結構來獲得運行效益最優的運行方式，其研究內容可分為兩大類：
       第一類是針對恒定負荷的靜態重構，主要方法有啟發式方法，如支路交換法^[1]、最優流模式法等；傳統數學優化方法，如線性整數規劃法、分支定界法等；智能計算方法，如模擬退火法、神經網絡法、遺傳算法等。第二類是時變重構（也稱動態重構），是在負荷不斷變化的情況下求解一段時間內的重構方案。主要方法有啟發式方法^{[2, 3]}，啟發式方法與智能計算方法相結合的混合算法^[4]，等等。
    實際配電系統負荷變化頻繁，靜態重構只給出開關設備一個時刻的動作方案，各時刻間的優化方案缺乏聯系，所以缺乏實用性。靜態重構屬于大規模、多目標、非線性、混合整型、組合優化問題，屬于NP難問題，顯然，針對給定時間區間的時變重構問題時間復雜性和空間復雜性更高。目前見諸文獻的方法根據啟發式規則只提供了局優解。
    本文以中壓配電網絡為研究對象，提出了以運行費用最小為目標的時變重構全局優化算法。
2  數學模型
    本文算法的目標函數可表示為

式中  F、NB和N分別為給定時間區間內的運行費用(包括開關操作費用和電能損耗費用)、可操作的開關總數和所劃分的時間段總數；x_k,i為開關k在第i時段的狀態，取值為0或1，分別為開關處于斷開位置和閉合位置；x_k,0為開關k的初始狀態；P_Li為第i時段系統的有功功率損耗，kW；t_i為第i時段的長度, h；C_Bk、C_Li分別為開關k操作一次的費用，元和第i時段的網損電價，元/kWh。
    重構后的網絡應滿足潮流方程約束、各種安全約束和放射狀運行約束。此外，時變重構問題還必須滿足開關操作次數約束，即在所研究的時段內滿足式(2)所描述的系統中所有可操作開關總的操作次數限制和式(3)所描述的單臺開關的操作次數限制。

       式中  N_A、N_Sk分別為給定時間區間內最大允許的總的開關操作次數和開關k最大允許的操作次數。
3  時變重構全局優化算法
3.1  算法步驟
    為了在給定時間區間內實現中壓配電網的運行費用最小，本文算法進行如下操作：
   （1）計算與識別網絡的初始信息，包括節點電壓、支路功率、有功損耗、開關狀態，等等；
   （2）將給定的時間區間劃分為多個時間段。在每個時間段內，根據負荷預測的結果將負荷近似為恒功率負荷。以網損最小為目標，使用核心模式遺傳最短路算法求解靜態重構子問題，得出多個候選的可行放射狀網絡結構。
   （3）根據上步得出的各個時段的可行放射狀網絡結構，應用動態規劃，求解運行費用最小的全局最優時變重構策略。
    可見，本文算法包含核心模式遺傳最短路算法和動態規劃兩個核心，下面分別予以說明。
3.2  CSGSA求解靜態重構子問題
    用無向元件網絡圖G來表示所研究的中壓配電網，B_S 和L_S分別表示支路集合與負荷節點集合。大部分見諸文獻的重構方法是針對B_S進行操作的，試圖找到B_S的一個子集B_S￠'?B_S，使得B_S￠中的所有支路組成一個滿足各種約束條件的放射狀運行網絡，這類方法被稱為組合支路法。CSGSA基于組合負荷的思想，其研究對象為L_S而非B_S，通過為L_S中的每個負荷分別尋找供電路徑來逐步獲得放射狀網絡結構。負荷尋路的先后次序決定結果網絡，CSGSA就是在使用遺傳算法搜尋最優的負荷尋路次序的過程中并行得出多個可行的放射狀網絡結構。CSGSA以網損最小為目標，算法流程如圖1所示。
       圖中第（1）步為將L_S中的負荷表示成負荷串的形式，其排列次序即為負荷尋路的先后次序；

    第（3）步為形成有向網絡拓撲圖
    第（4）步為使用最短路法在G_Sqi中搜尋當前負荷的最佳供電路徑。所用弧權值公式定義為

    式(4)的作用是使尋路過程中網損增量相對較小，剩余容量相對較大的弧優先被選中，從而平衡結果網絡各個支路的負荷，避免由于先尋路負荷的供電路徑過于集中而導致的后尋路負荷無法找到合法供電路徑的現象；
    第（5）步至第（7）步的理論基礎是遺傳算法的模式定理。研究發現，根據S_qi中負荷排列的先后次序可將L_S分解為2個互補的子集L_S￠Sqi與L_S2Sqi，其中，L_S￠Sqi中的負荷被稱為核心模式負荷，它們對放射狀網絡結構的生成起著關鍵性的影響。L_S2Sqi中的負荷被稱為非核心模式負荷，它們通過改變G_Sqi中的支路權值來影響后續負荷的尋路結果，因此對網絡結構的生成也有影響，但該影響是次要的。例如，對S_qi中的負荷L_i尋路，將得到供電路徑P。假設P上存在還未使用最短路法尋路的負荷L_α1, ···, L_αα,根據配電網絡的放射狀約束易知，其供電路徑已由L_i確定，因此有：與L_S2Sqi中的負荷混雜形成染色體S_qi，先尋路負荷對后尋路負荷供電路徑的搜索有著程序很難控制的復雜影響，因此該編碼方式得出的染色體各基因的關系是強耦合的，具有高階、長定義長度的特點，不適合遺傳操作。
    第（5）步實現為S_qi尋路的同時，將L_S分解為L_S'Sqi和L_{S2 Sqi}，從而突出核心模式負荷的作用，屏蔽非核心模式負荷的影響。具體操作如下：建立空的核心模式染色體，為S_qi中的負荷依次尋路的同時，剔除相關的非核心模式負荷，同時向中以從首端至尾端的順序添加核心模式負荷，以從尾端至首端的順序添加相關的非核心模式負荷，最后用所得到的核心模式染色體替換S_qi來參加遺傳運算。所得S'_qi的模式如下所示：

式中  *為無需使用最短路法尋路的非核心模式負荷。
    的首段L_g1,…,L_gg∈L_S'Sqi由核心模式負荷組成，尾段由非核心模式負荷組成，負荷排列的先后順序由其在S_qi中的相對位置決定。可見，該類染色體都具備低階、短定義長度的特點，所以，通過選擇、交叉和變異等遺傳運算，一些較差的核心模式逐步被淘汰，一些較好的核心模式逐步被遺傳和進化，最終可得到問題的最優解。這種方法不但大大改善了算法的收斂性，提高了搜尋最優解的能力，同時省去了為非核心模式負荷使用最短路法尋優的過程。通常，核心模式負荷數g遠小于非核心模式負荷數β，因此，計算速度得到大幅度提高。
    通過計算得出的候選放射狀網絡結構成為動態規劃求解全局最優時變重構策略的前提與基礎。
3.3  以動態規劃求解全局最優時變重構策略
3.3.1 動態規劃數學模型
    動態規劃是運籌學的一個分支，是求解多階段決策過程最優化的數學方法。本文把給定的時間區間劃分為若干階段，將時變重構問題轉化為多階段決策過程，然后使用動態規劃求解，其步驟為：
   （1）以時間劃分階段。將所研究的時間區間劃分為N個時段，各時段長度可以相等，也可不等；
   （2）選擇可行放射狀網絡結構作為動態規劃中的狀態(由網絡中可操作開關的開合位置來表示)。第i時段的可達狀態集合記為S_i。
   （3）時段間狀態轉移決策。U_i為第i時段狀態處于s_i的決策變量，D_i為第i時段的允許決策集合， u_i(s_i)∈D_i(s_i)，T_i為狀態轉移函數。時變重構問題的初始狀態已知，故根據s_i、u_i來確定s_i-1，有

   （4）指標函數和最優值函數。
    選擇開關操作費用和電能損耗費用之和為指標函數，其表達式為

邊界條件為f₀(s₀)=0，即設定s₀為網絡的初始狀態，作為第0階段，其費用為0。第1時段至第N時段為所研究的時間區間。
    從第0階段開始遞推求解，記錄每個s_i的最優值函數及相應的s_i-1，最后從第N時段選出最優的s_N并回推得出全局最優的重構策略。
3.3.2 開關操作次數約束的處理
    為了限制開關操作次數，防止由于開關操作次數約束導致的無解或采納局優解，應使某些相鄰時段可以存在相同的網絡結構，因為如果動態規劃在相鄰的時段選擇了相同的網絡結構，則表示時段間無需任何開關操作。動態規劃各個階段的狀態由CSGSA計算獲得，都是網損相對較小的網絡結構，所以本文采取了狀態鎖定措施，目的是提供網損相對較大但所需開關操作次數較少的網絡結構，也就是保證相鄰的若干時間段中存在相同的可行放射狀網絡結構。狀態鎖定措施的具體步驟是：將當前時段的狀態加入相鄰的下一時段中，判斷該狀態是否已經存在，并計算狀態是否可行，若該狀態已經存在或是狀態可行，則繼續向后面相鄰的時段添加該狀態，若狀態為不可行或是已經到達末時段，則終止當前狀態的添加過程。狀態鎖定豐富了各個時段的狀態數量，為限制開關操作次數提供了可能。
    在動態規劃尋優過程中，如果某階段狀態給定，則此前各階段狀態決定了到目前為止已經操作的開關次數，若此時考慮開關操作次數約束，則意味著此前各階段狀態將影響該階段以后狀態的選擇，這將導致狀態變量不滿足構造動態規劃模型所必需的無后效性(馬爾科夫性)條件。雖然采取適當增多狀態變量的方法(如增加已操作開關數作為狀態變量)，總能把過程變為無后效的，但這會大大增加算法的復雜性。考慮到本文算法的目標是最小化運行費用，其中包括了開關操作的費用，這就等價于隱性地限制了開關操作次數。加之狀態鎖定措施為限制開關操作次數提供了可能，因此，動態規劃遞推尋優過程中不考慮開關操作次數是否越限。當尋優過程結束后，選擇運行費用最小的重構策略，這時再判斷是否滿足開關操作次數約束，若滿足約束，則完成計算，得出全局最優時變重構策略。
    動態規劃計算得出了多個可行重構策略，經過遞推尋優過程之后，這些可行策略的運行費用是非常接近的，所以當費用最小解違反開關約束時，可以直接從所得的眾多策略中選出滿足開關約束的費用最小策略作為最終結果。開關操作次數越限往往只對應于給定的開關可操作次數非常少的極端情況。大量計算表明，本文算法所得費用最小解所需開關操作次數很少，一般情況下能夠滿足開關操作次數的約束條件。因為一方面，CSGSA通過全局尋優和局部尋優，能夠快速得到每個時段的最優網絡結構和大量的次優網絡結構，狀態鎖定措施進一步豐富了各個時段可行網絡結構的數量，使得每個時段都包含了足夠的可行網絡結構以供選擇；另一方面，動態規劃本身具備了全局搜索能力。所以，本文算法能夠得到最優的和大量次優的時變重構策略，保證了算法的全局最優性。
4  算法復雜性分析
    CSGSA內嵌Dijkstra最短路法和遺傳算法，其計算復雜度是O(p³)，其中p為參與計算的節點數量。核心模式負荷概念的引入使得p減小，因此有效地提高了算法的求解速度。
    動態規劃的計算復雜度與時間段數和每個時段的候選網絡結構數密切相關。用W表示N個時段的候選網絡結構總數，則動態規劃算法時間復雜性為O((N-1)W²)，空間復雜性為O(NW)。本文只選擇了一個動態規劃狀態變量，狀態總數和時間段總數不多，所以計算速度非常快。如果在動態規劃尋優的過程中考慮開關操作次數約束，那么只有增加動態規劃狀態變量的個數才能維持解的最優性，最簡單的方法是再增加開關操作次數作為狀態變量。算法的時間復雜性和空間復雜性分別變為O(W^2N－1)和O(W^N)，都是關于N的指數函數。對比可見，本文算法在最壞情況下的時空復雜性遠遠小于在尋優過程中直接考慮開關操作約束的情況，所以可有效地求解時變重構問題。
5  算例分析
       采用如圖2所示的12.66kV、33節點、5網孔系統^[1]，圖中給出了每條線段的編號。將系統中的負荷歸為3大類：大型工商業負荷，中小工商業負荷和居民負荷。每類負荷的變化遵循相應的負荷曲線，文[1]所給的負荷數據作為所研究時間區間內各節點的峰荷。圖3給出的負荷曲線取自實際系統1997年1月1日~10日(星期三~下星期五)的數據。設C_Bk為7元/次，C_Li為0.4元/kWh，t_i全部取1h。

    大量計算表明，針對不同的初始結構和時間區間，算法總能找到從初始結構過渡到最優結構的費用最小重構方案。當網絡負載率不高時，網絡調整到最優結構后，如果負荷的模式如類型、峰荷大小、負荷曲線等沒有太大的變化，則不需再進行任何重構操作，網絡結構將保持最優，這為季節性重構提供了參考。例如，在上述網絡和負荷模式下，最優網絡結構選擇線路7，9，14，28，36作為聯絡線。
       設初始網絡結構選擇33~37作為聯絡線，使用本文算法進行時變重構優化計算，第1種情況為將24h作為給定時間區間進行計算，優化結果作為下次計算的初始網絡結構，連續計算3天；第2種情況為將3天作為給定時間區間進行優化計算。兩種情況的計算結果見表1。可見，給定的時間區間不同，可能導致優化結果的不同。如果初始網絡結構與最優結構相差較大，由式(1)可知，時間區間長，則開關操作費用在總費用中的比例小，優化結果趨于最優網絡結構；時間區間短，則算法將逐步向最優結構過渡，以保證當前時間區間內的費用最小。表1即說明了2種情況到達最優結構的路徑不同，第1種情況的前24h屬于過渡階段，后48h重構為最優結構。第2種情況只在0點重構一次便使得72h內運行費用最小。圖4為前24h的網損比較。圖中還給出了不限制開關操作次數的網損最小結果，網損為4610.71kW，72h里需要進行26次開關操作，費用為2026.28元。可見，本文算法所得結果的網損與網損最小值非常接近，但費用卻顯著減少。以上雖然對不同時間區間的優化結果進行了比較，但實際應用中，若網絡負載率不高且當前負荷模式維持足夠長時間時，將選擇一步重構到當前負荷模式下的最優網絡結構，而不必經過若干過渡。如果網絡的負載率很高或負荷變化劇烈，那么網絡結構應進行相應調整以保證滿足電壓或容量等約束條件。表2給出了當每個節點的負荷都增長19%時的重構策略，同時給出相同情況下的網損最小結果。

    如果開關可操作次數很少，無法重構到最優的網絡結構，則算法將得出滿足開關操作次數約束的運行費用次優解。如表2所示的72h優化結果需要8次開關操作，如果限定每臺開關只能操作2次，總的開關操作不超過4次，那么算法所得網絡結構的聯絡線是11，28，33，34，36，從初始狀態只需4次開關操作即可實現，網損為4698.25kW，費用為1907.30元。此外，若使開關操作費用為零，則算法轉化為電能損失最小重構問題；若只考慮單一時段，則算法轉化為靜態重構問題；若只考慮單一時間點，同時開關操作費用為零，則算法轉化為傳統的靜態網損最小重構問題。實際應用中可能遇到最優解不唯一或者有其它一些約束需要考慮的情況，這時，算法將動態規劃尋優所得的所有可行重構策略由優至劣排序，然后全部輸出，由用戶來選擇最終的方案。可見本文算法非常實用，應用范圍非常廣泛。

6  結語
    實際配電系統負荷變化頻繁，重構方案也應相應變化，本文給出了時變重構的全局優化算法，可在所研究的時間區間內實現運行費用最小化。算法主要由CSGSA和動態規劃組成，并對開關操作次數約束進行了處理，使之不影響動態規劃計算結果的全局最優性。大量計算表明：本文算法計算速度快，解的質量高，可用于配電網絡的實時調度，可在降低運行費用的同時提高供電質量與供電可靠性，也可將之用于規劃和離線分析等方面。